สมการ (Equation) คือ การเท่ากันของนิพจน์ 2 นิพจน์
(ข้อความ 2 ข้อความ) โดยใช้เครื่องหมาย = และใช้ตัวแปรแทนสัญลักษณ์ของสมการ
ดังนั้นสมการ (Equation) หมายถึง จำนวน 2 จำนวนที่แสดงการเท่ากัน
โดยใช้เครื่องหมาย = แทนการเท่ากัน
ตัวแปร (Variable) คือ
จำนวนที่ไม่ทราบค่า จะใช้สัญลักษณ์แทน เช่น x,y,z เป็นต้น
การแก้สมการ คือ
การหาคำตอบของสมการหรือการหาค่าตัวแปร
คำตอบของสมการ คือ
จำนวนที่แทนตัวแปรในสมการแล้วทำให้สมการเป็นจริง
การตรวจคำตอบของสมการ คือ
การนำคำตอบของสมการไปแทนค่าตัวแปรแล้วทำให้ค่าของสมการทั้งสองข้างเท่ากัน
8.1 สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
นิยาม สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว คือ สมการที่มีตัวแปรหรือตัวไม่ทราบค่า (unknow)และเลขชี้กำลัง
ของตัวแปรเป็น 1 ตัวแปรอาจปรากฎเพียงข้างใดข้างหนึ่งของเครื่องหมาย “
= ” หรือ ปรากฏทั้งสองข้างแต่เมื่อจัดรูปให้อยู่ในรูปผลสำเร็จโดยมี x
เป็นตัวแปร
a , b เป็นค่าคงตัว และ a
ไม่เท่ากับ
0 จะอยู่ในรูปแบบ
สมการเป็น
ax + b = 0
สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว จะมีค่าคำตอบเพียงค่าเดียวเท่านั้น
คือ
จำนวนที่เมื่อนำไปแทนค่าตัวแปรใน
สมการแล้วทำให้สมการนั้นเป็นจริง บางครั้งจะเรียกคำตอบของสมการว่า รากของสมการ
คำสั่งของโจทย์ประเภทนี้มักใช้คำว่า จงแก้สมการ
จงหาค่า x
(ตัวแปรในสมการ) จงหารากของสมการหรือจงหารคำตอบของสมการ
สมการ 2 สมการจะสมมูลกันก็ต่อเมื่อคำตอบของสมการ
ทั้งสองต้องเท่ากัน
8.2 การแแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
สำหรับการแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
พูดง่ายๆก็คือการหาคำตอบของสมการ
ตัวอย่างที่ 1 จงหาคำตอบของ x+2=14x+2=14
เราต้องการหาค่า x ว่า x คือตัวอะไรที่มีบวกกับ
เลข 2 แล้ว มีค่าเท่ากับ 14 โจทย์ข้อนี้เป็นโจทย์ง่ายๆ ไม่ซับซ้อน
สามารถที่จะคิดในใจได้ เลยว่า x ก็คือ 12
นั่นเอง (เพราะ 12+2 = 14 ดังนั้น x
= 12)
วิธีที่ 1จากโจทย์ x + 2 = 14 เราต้องการหาค่า
x น่ะครับดังนั้นเราต้องกำจัด 2 ออกจาก x
โดยการนำ 2 ไปลบออกทั้งสองข้างของสมการจะได้
x + 2 - 2 = 14 - 2 (นำ 2 ลบออกทั้งสองข้างของสมการ)
x + 0 = 12
x = 12
ตอบ x = 12
วิธีที่ 2 จริงๆแล้ววิธีที่ 2 ก็เป็นวิธีเดียวกันกับวิธีที่
1 ครับ แต่ใช้วิธีการอธิบายที่แตกต่างกัน
แต่จริงๆแล้วเป็นวิธีเดียวกันนั่นแหล่ะครับ มาดูกันว่า วิธีที่ 2 ทำกันยังไง
จากโจทย์ x + 2 = 14 จะเห็นได้ว่า 2
บวกอยู่กับ
x เราจะย้าย 2 ออกจาก x ไปหา 14
ที่นี้หลักการย้ายข้างมีอยู่ว่า
1. ถ้าจำนวนนั้นเป็นจำนวนจริงบวก เวลาย้ายข้างไปจะเป็นจำนวนจริงลบ (พูด ง่าย
ๆจากบวกจะกลายเป็นลบ)
2. ถ้าจำนวนนั้นเป็นจำนวนจริงลบ เวลาย้ายข้างไปจะเป็นจำนวนจริงบวก (พูด ง่ายๆ
จากลบจะกลายเป็นบวก)
3. ถ้าจำนวนนั้นคูณอยู่ เวลาย้ายข้าง จะย้ายไปหาร
4. ถ้าจำนวนนั้นหารอยู่ เวลาย้ายข้าง จะย้ายไปคูณ
2. ถ้าจำนวนนั้นเป็นจำนวนจริงลบ เวลาย้ายข้างไปจะเป็นจำนวนจริงบวก (พูด ง่ายๆ
จากลบจะกลายเป็นบวก)
จากโจทย์ x - 5 = 20
x = 20 + 5 (5 ลบอยู่ย้ายไปฝั่งขวาของสมการจะกลายเป็น
-5 ) จะได้
x = 25
ตอบ x = 25
ตัวอย่างที่ 3 จงหาคำตอบของ 5x = 40
วิธีทำ ใช้หลักการย้ายข้างใช้ข้อที่ 3
3. ถ้าจำนวนนั้นคูณอยู่ เวลาย้ายข้าง จะย้ายไปหาร
จาก 5x = 40 (5 คูณอยู่กับ x
ย้ายไปข้างไปหาร)
จะได้ x=405x=405
x = 8
ตอบ x = 8
ตัวอย่างที่ 4 จงหาคำตอบของ 12x-1 = 11
วิธีทำ จาก 12x-1 = 11 (ย้าย 1
ไปอยู่ฝั่งขวา
จากลบจะกลายเป็นบวก)
จะได้ 12x = 11 + 1
12x = 12 (ต่อไปย้าย 12
ไปหาร)
จะได้
x=1212=1x=1212=1
ตอบ x = 1
ตัวอย่างที่ 5 จงหาคำตอบของ x2=12x2=12
วิธีทำ ใช้หลักการย้ายข้างครับ ใช้ข้อ 4
ข้อ 4 ถ้าจำนวนนั้นหารอยู่ เวลาย้ายข้าง
จะย้ายไปคูณน่ะครับ (พูดง่ายๆก็คื่อ ถ้าหารอยู่ย้ายไปคูณ)
จากโจทย์ x2=12x2=12
จะได้
x = 12(2) (จาก 2 หารอยู่เวลาย้ายข้างจะย้ายไปคูณครับ
จะได้ 12 คูณกับ 2 ซึ่งได้ 24 )
x = 24
ตอบ x = 24
การแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ต้องอาศัยสมบัติการเท่ากันของจำนวนที่ว่า จำนวน
2 จำนวน
ที่เท่ากันเมื่อเพิ่มหรือตัดออกเท่ากันย่อมเท่ากัน
ตัวอย่างที่ 1 จงหาคำตอบของสมการ
2x – 5 = 8
วิธีทำ จากสมการ 2x
– 5 = 8
จะได้
2x – 5 + 5
= 8 + 5 (นำ 5 ไปบวกทั้งสองข้าง)
x
+ 7 = 9
จะได้
x + 7
– 7 = 9 – 7 (นำ
-7
ไปบวกทั้งสองข้าง)
3x = 15
1/3 . 3x
= 15 . 1/3
(นำ 1/3 ไปคูณทั้งสองข้าง)
(1)x = 5
x =
5 นั่นคือ
x = 5
8.3 สมการเชิงเส้นสองตัวแปร
ระบบสมการเชิงเส้น คือ สมการเชิงเส้นมากกว่า 1 สมการขึ้นไป แต่ละสมการจะมีตัวแปรมากกว่า 1 ตัว ถ้าตัวแปร 2 ตัวจะเรียกว่า สมการเชิงเส้นสองตัวแปร ซึ่งในระบบนี้จะมีสมการอย่างน้อย 2 สมการ จึงจะหาค่าคำตอบของตัวแปรทั้งสองได้ เช่นเดียวกับสมการเชิงเส้น 3 ตัวแปร ก็ต้องมีสมการอย่างน้อย 3 สมการ จึงจะหาคำตอบของตัวแปรได้ โดยตัวแปรทุกตัวในสมการ จะต้องอยู่ในรูปกำลังหนึ่ง และอยู่ในรูปผลบวก หรือผลต่างระหว่างตัวแปรเหล่านั้น
1. สมการเชิงเส้นสองตัวแปร
รูปแบบระบบสมการสองตัวแปร คือ
a 1 x + b 1 y = c 1 เมื่อ a 1 และ b 1 ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน
a 2 x + b2
y = c 2 เมื่อ a 2 และ b 2 ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน
ส่วนระบบสมการเชิงเส้นมากกว่าสองตัวแปร จะกล่าวถึงเล็กน้อยเท่านั้น
ในชั้นนี้จะศึกษาเกี่ยวกับการหาค่าตัวแปร 2 ตัวแปรจากระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ซึ่งถ้านำสมการทั้งสองมาเขียนกราฟเส้นตรง และจุดที่กราฟทั้งสองตัดกัน จะเป็นคำตอบของสมการนี้
8.4 การแก้สมการเชิงเส้นสองตัวแปร
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรโดยใช้วิธีเขียนกราฟจะไม่สะดวก เนื่องจากเสียเวลามาก
บางครั้งคำตอบที่ได้จากกราฟอาจพิจารณาหาคำตอบได้ยากเพราะคำตอบอาจไม่ใช้จำนวนเต็ม
บางครั้งเป็นเศษส่วน (จำนวนตรรกะ) จึงยากที่จะระบุจำนวนใดเป็นคำตอบของระบบสมการนี้
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ยังคงใช้สมบัติการเท่าเทียมกันกับการบวกและการคูณเช่นเดียวกับ การแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว นั่นคือ สมบัติเกี่ยวกับการบวก และการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากันย่อมเท่ากัน
หลักการสำคัญที่ใช้แก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
1. โดยวิธีแทนค่าตัวแปรตัวหนึ่งในรูปตัวแปรอีกตัวหนึ่ง
2. โดยการเขียนตัวแปรตัวหนึ่งในรูปของตัวแปรอีกตัวหนึ่งทั้งสองสมการแล้วนำมาเท่ากันเข้าสมการใหม่
3. โดยการทำสัมประสิทธิ์ตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งทั้งสองสมการให้เท่ากัน เท่ากับ ค.ร.น. ของสัมประสิทธิ์เดิม ของตัวแปรนี้ทั้งสองสมการ แล้วนำมาบวกหรือลบกัน
ข้อสังเกต ถึงแม้ว่าโจทย์ข้อนี้จะทำสัมประสิทธิ์ของ x ให้เท่ากัน แล้วนำมาลบกันก็ได้แต่ไม่นิยมนำสมการมาลบกัน เนื่องจากอาจผิดพลาดเรื่องเครื่องหมาย
35x +
42y = 497
35x – 25y = 95
67y = 402
ต้องระวัง 42y – (-25y) บางครั้งอาจผิดพลาดเรื่องเครื่องหมาย จึงนิยมทำสัมประสิทธิ์ตัวแปรเดิมที่มีเครื่องหมายตรงกันข้ามกัน แล้วนำมาบวกกัน จะได้ไม่ต้องกังวลเรื่องเครื่องหมาย
